Def : F ss espace stable par u : u(F)Ì F

F stable par u SSI M(u,B) triangulaire par blocs

uÎ L(E), P et Q 2 polyn 1^ers entre-eux. Ker (PQ)(u)=Ker P(u) Å Ker Q(u)

Eléments propres : l valeur propre Û Ker(u-l Id)¹ {0}

Th : Les espaces propres assoc à des val pr distinctes ont une somme directe

Polynôme caractéristique de u : Cu(X)=det(u-X.Id)

Sp(u)=ens des racines de Cu(X)

Th : uÎ L(E), F ss ev stable par u alors Cu_F | Cu

Th : uÎ L(E) l val pr de u, 1£ dim El £ nl nl  : ordre de mult de l

Th de Cayley Hamilton : Cu(u)=0

Sont équivalents :

• u diagonalisable
• E somme directe des esp propres
• Cu scindé " l val pr, dim El =nl
• dim E somme des dim des esp propres

u diag Û $ PÎ K[X] | P scindé à racines simples, P(u)=0

Endom trigonalisable : B base qcq, Bt base de trig. P passage Bà Bt, T=M(u,B) et A=M(u,Bt)

alors T=P^-1AP ou A=PTP^-1

Th : u trig Û polyn caract scindé

Drapeau d’un ss ev ...

A voisinage de E Û $ rÎ R₊^* | B(a;r)Ì A

Partie ouverte : " aÎ A, A admet un voisinage

Normes sur fct cont, matrices, polynômes ...

N1 et N2 : normes équivalentes Û définissent les mêmes ouverts Û $ (a ,b ) strictem. positifs | a .N1£ N2£ b .N1

Def : (x_n) est de Cauchy Û " e >0, $ NÎ N, " (p,q)Î N²,p³ N, q³ N Þ ||x_p-x_q||£ e

è Une suite convergente est de Cauchy (pas de réciproque)

Th : E evn de dim finie alors E est complet

Compacité : K compact Û K¹ Æ et de toute suite dans K, on peut extraire une suite cvgte dans K

ex : [0,1] mais pas [0,1[ou ]0,1]

Une partie compacte est fermée et bornée (réciproque fausse)

Th bolzano Weierstrass pour un evn ...

Continuité sur un evn

Th : lim f(x)à l qd xà a Û de tte suite (a_n) dans A de lim a, on a lim f(a_n)=l

f continue sur A Û " W ouvert (resp. fermé) de F, f^-1(W ) ouvert (resp. fermé) de A

Th : l’image d’un compact par une applic cont est un compact

Th de Heine : Une fonction continue sur une partie compacte K est unif. continue sur K

Homéomorphisme :

F : Aà F et BÌ F, f homéomorph Û f bij Aà B, f continue sur A, f^-1 continue sur B

f Î L(E,F), sont équivalents :

• f continue sur E
• f continue en 0
• f bornée sur B (0,1)
• f bornée sur Bf (0,1)
• f bornée sur S (0,1)
• f unif cont
• f lipschitzienne
• $ MÎ R⁺ " xÎ F, ||f(x)||£ M.||x||

Norme d’une applic lin : le plus petit réel M tq f soit M-lipschitzienne

||gof||£ ||f||.||g||

f : ExFà G bilinéaire, f cont Û $ MÎ R⁺ " (x,y)Î ExF ||f(x,y)||£ M.||x||.||y||

Th : dans un espace de dim finie, toutes les normes sont équivalentes

Critère de Cauchy, th du point fixe ...

Th : " matrice A dans Mn(K), la série de t.g. (A^k/k !) cvge abs de somme exp(A) ou e^A

! ! ! pas de formules sur les exp de matrices

Connexité par arcs :

A partie non vide de E evn, A connexe par arcs Û " (a,b)Î A², $ fÎ C([0,1],A) | (f(0)=a et f(1)=b)

Th : A partie convexe Þ A connexe par arcs

Sur R, les parties connexes par arcs sont les intervalles

Si A connexe p.a. alors f(A) aussi